Contoh soal dan pembahasan Persamaan garis singgung

Berikut adalah Contoh soal dan pembahasan dari Persamaan garis singgung ..

 Jika kurva y = f(x) disinggung oleh sebuah garis di titik (x1, y1) maka gradien garis singgung tersebut bisa dinyatakan dengan

 m = f'(x1)

 Sementara x1 dan y1  memiliki hubungan

 y1 = f(x1)

 Sementara itu persamaan garis singgungnya bisa dinyatakan dengan

 y - y1 = m(x - x1)

Contoh 1 :

 Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x3 - 6x di titik (3, 9)

Jawab :

 f(x) = x3 - 6x

 f '(x) = 3x2 - 6

 m = f '(3) = 27 - 6 = 21

 Jadi, persamaan garis singgungnya adalah

 y - y1 = m(x - x1)

 y - 9 = 21 (x - 3)

 y - 9 = 21x - 63

 y = 21x - 54

Contoh 2 :

 Persamaan garis singgung pada kurva y = x2 - 7x2 + 20  di titik yang berabsis 2 adalah

Jawab :

 x = 2

 y = x4 - 7x2 + 20 = y = 24 - 7.22 + 20 = 16 - 28 + 20 = 8

 m =y' = 4x3 - 14 x = 4.23 - 14.2 = 32 - 28 = 4

 Jadi, persamaan garis singgungnya adalah

 y - y1 = m(x - x1)

 y - 8 = 4(x - 2)

 y - 8 = 4x - 8

 y = 4x

Contoh 3 :

 Persamaan garis singgungpada kurva y = x3 + 10 di titik yang berordinat 18 adalah ....

Jawab :

 Ordinat adalah nilai y, maka 

 y = 18

 x3 + 10 = 18

 x3 = 8

 x = 2

 m = y' = 3x2 = 3.22 = 12

 Persamaan garis singgungnya adalah 

 y - y1 = m(x - x1)

 y - 18 = 12(x - 2)

 y - 8 = 12x - 24

 y = 12x - 16

Contoh 4 :

 Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x2 - x + 3 di titik yang berordinat 5

Jawab :

  ordinat = 5

 y = 5

 x2 - x + 3 = 5

 x2 - x - 2 = 0

 (x - 2)(x + 1) = 0

 x = 2 atau x = -1 

 Untuk x = 2 maka

 m = 2x - 1 = 4 - 1 = 3

 y - y1 = m(x - x1)

 y - 5 = 3(x - 2)

 y - 5 = 3x - 6

 y = 3x - 1

 Untuk x = -1

 m = 2x - 1 = -2 - 1 = -3

 y - y1 = m(x - x1)

 y - 5 = -3(x + 1)

 y - 5 = -3x - 3

 y = -3x + 2

 Jadi, ada dua persamaan garis singgung, yaitu y = 3x - 1 atau y = -3x + 2

Contoh 5 :

 Persamaan garis singgung pada kurva y = x4 - 5x2 + 10 di titik yang berordinat 6 adalah

Jawab :

 ordinat = 6

 x4 - 5x2 + 10 = 6

 x4 - 5x2 + 4 = 0

 (x2 - 1)(x2 - 4) = 0

 (x + 1)(x - 1)(x + 2)(x - 2) = 0

 x = -1 atau x = 1 atau x = -2 atu x = 2

 untuk x = -1

 m = 4x3 - 10x = -4 + 10 = 6

 y - y1 = m(x - x1)

 y - 6 = 6(x + 1)

 y - 6 = 6x + 6

 y = 6x + 12

 Untuk x = 1

 m = 4x3 - 10x = 4 - 10 = -6

 y - y1 = m(x - x1)

 y -  6 = -6(x - 1)

 y - 6 = -6x + 6

 y = -6x + 12

 Untuk x = -2

 m = 4x3 - 10x = 4(-2)3 - 10(-2) = 4(-8) + 20 = -32 + 20 = -12

 y - y1 = m(x - x1)

 y - 6 = -12(x + 2)

 y - 6 = -12x - 24

 y = -12x - 18

 Untuk x = 2

  m = 4x3 - 10x = 4.23 - 10.2 = 4.8 - 20 = 32 - 20 = 12

 y - y1 = m(x - x1)

 y - 6 = 12(x - 2)

 y - 6 = 12x - 24

 y = 12x - 18

 Jadi, ada 4 persamaan garis singung, yaitu y = 6x + 12, y = -6x = 12, y = -12x - 18 dan y = 12x – 18

Contoh 6 :

 Tentukan persamaan garis singgung pada kurva y = x4 - 100x yang bergradien 8

Jawab :

 m = 8

 y' = 8

 4x3 - 100 = 8

 4x3 = 108

 x3 = 27

 x = 3

 y = x4 - 100x = 81 - 300 = - 219

 Persamaan garisnya adalah :

 y - y1 = m(x - x1)

 y + 219 = 8(x - 3)

 y + 219 = 8x - 24

 y = 8x - 243

Contoh 7 :

 Persamaan garis singgung pada kurva y = 3x4 - 20 yang sejajar dengan garis y = 12x + 8 adalah

Jawab :

 y = 3x4 - 20

 y' = 12x3

 Persamaan garis yang sejajar dengan garis singgung adalah

 y = 12x + 8

 maka gradien garis ini adalah m1 = 12

 Karena sejajar maka gradiennya sama sehingga gradien garis singgung (m2) adalah

 m2 = m1 = 12

 gradien garis singgung ini sama dengan turunan kurva sehingga

 y' = 12

 12x3 = 12

 x3 = 1

 x = 1

 maka y = 3x4 - 20 = 3 - 20 = - 17

 Persamaan garis singgungnya adalah

  y - y1 = m(x - x1)

 y + 17 = 12(x - 1)

 y + 17 = 12x - 12

 y = 12x - 29

Terima kasih :)